ज्यामितीय वस्तु, जिसे बाद में "क्लेन बोतल" कहा गया, का वर्णन पहली बार 1882 में जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन ने किया था। वह क्या प्रतिनिधित्व करता है? यह वस्तु (या बल्कि, एक ज्यामितीय या टोपोलॉजिकल सतह) हमारी त्रि-आयामी दुनिया में मौजूद नहीं हो सकती है। स्मृति चिन्ह की दुकानों में बिक्री के लिए उपलब्ध सभी मॉडलों की एक नज़र होती है जो केवल एक अस्पष्ट विचार देती है कि क्लेन की बोतल क्या है।
अधिक स्पष्टता के लिए, इसे इस प्रकार वर्णित किया गया है: एक बहुत लंबी गर्दन वाली बोतल की कल्पना करें। फिर मानसिक रूप से इसमें दो छेद करें: एक दीवार में और दूसरा नीचे। फिर गर्दन को मोड़ें, दीवार के छेद में डालें और नीचे के छेद से बाहर निकालें। परिणामी वस्तु हमारे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी अंतरिक्ष वस्तु का प्रक्षेपण होगी, जो वास्तविक क्लेन बोतल है।
गणितीय शब्दों की भाषा में क्लेन बोतल का विवरण यासूत्र आम आदमी को कुछ नहीं कहेंगे। क्या ऐसी परिभाषा कई लोगों को संतुष्ट करेगी: एक क्लेन बोतल एक गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड (या सतह) है जिसमें कई गुण होते हैं। "गुण" शब्द के बाद आप त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं और ग्रीक और लैटिन अक्षरों से मिलकर एक लंबी श्रृंखला बना सकते हैं। लेकिन यह केवल एक अप्रस्तुत व्यक्ति को भ्रमित कर सकता है जिसे पहले से ही इस बात का अंदाजा हो गया है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बोतल का प्रक्षेपण क्या है।
दिलचस्प तथ्य: इस वस्तु को "क्लेन बोतल" नाम दिया गया था, सबसे अधिक संभावना है, अनुवादक की गलती या टंकण त्रुटि के कारण। तथ्य यह है कि क्लेन ने अपनी परिभाषा में फ्लेचे शब्द का इस्तेमाल किया, जो कि जर्मन में "सतह" है। जर्मनी से दूसरे देशों में "यात्रा" करते समय, यह शब्द एक समान वर्तनी फ्लैश (बोतल) में परिवर्तित हो गया था। फिर यह शब्द मूल देश में एक नए, संशोधित रूप में लौट आया, और हमेशा के लिए बना रहा।
कई सांस्कृतिक हस्तियों (मुख्य रूप से विज्ञान कथा लेखकों) के लिए, "क्लेन बोतल" शब्द ही आकर्षक निकला। एक विशेषता के रूप में इसका उपयोग, और कभी-कभी मुख्य चरित्र, "बौद्धिक" कल्पना का संकेत बन गया है। उदाहरण के लिए, ब्रूस एलियट द्वारा लिखित कहानी "द लास्ट इल्यूजनिस्ट" है। कहानी में, एक जादूगर का सहायक उसके संरक्षक पर टूट पड़ता है, जो चार-आयामी क्लेन बोतल के साथ चाल चल रहा था। बोतल में चढ़ने वाला मायाजाल उसमें आधा डूबा रहता है। लेखक के अनुसार, सामग्री को नुकसान पहुँचाए बिना इस बोतल को तोड़ा नहीं जा सकता। क्या सच में ऐसा है - कह नहीं सकताकोई भी नहीं। कम से कम, गणितज्ञ, जो शायद इस प्रश्न का उत्तर दे सकते थे, इससे हैरान नहीं थे, विज्ञान के लिए यह अप्रासंगिक है।
कभी-कभी विशेष रूप से बनाई गई क्लेन की बोतलें प्रचार उद्देश्यों के लिए शराब से भरी होती हैं। सच है, ऐसी कांच की बोतल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, इसके लिए एक अतिरिक्त श्रेणी के ग्लास ब्लोअर की आवश्यकता होती है। इसलिए, इसकी एक उच्च लागत है और इसका उपयोग अक्सर किया जाता है। और प्रौद्योगिकी के विकास और एक धारा पर ऐसी बोतलों के उत्पादन का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसके लिए बोतल को तरल से भरने की विधि पर काम करना आवश्यक होगा (यहाँ भी, कठिनाइयाँ हैं)। और ऐसी बोतल से गिलास में शराब डालने की असुविधा से असामान्यता और नवीनता की भावना जल्दी से बदल जाएगी।
